Question

已知数列{an}满足a1=1,an-a(n+1)=ana(n+1),数列{an}的前n项和为Sn.(1)求证:{1/an}为等差数列；

(2)设Tn=S2n-Sn,求证T(n+1)＞Tn

Answer 1

an－a(n＋1)=ana(n＋1) 【两边同除以ana(n＋1)】
得：
1/[a(n＋1)]－1/[a(n)]=1
即：
数列{1/(an)}是以1/a1=1为首项、以d=1为公差的等差数列。
则：
1/[a(n)]=n
a(n)=1/n

追问

第二问呢。第一问我会。第二问那个求和。1/n不会啊。

追答

an－a(n＋1)=ana(n＋1) 【两边同除以ana(n＋1)】

得：
1/[a(n＋1)]－1/[a(n)]=1
即：
数列{1/(an)}是以1/a1=1为首项、以d=1为公差的等差数列。
则：
1/[a(n)]=n
a(n)=1/n

Tn=S(2n)－S(n)=[1/(n＋1)]＋[1/(n＋2)]＋[1/(n＋3)]＋…＋[1/(n＋n)]
则：
T(n)－T(n＋1)={[1/(n＋1)]＋[1/(n＋2)]＋…＋[1/(n＋1)]}－{[1/(n＋2)]＋[1/(n＋3)]＋…＋[1/(n＋1)＋(n＋1)]}
=[1/(n＋1)]－1/[(n＋1)＋n]－1/[(n＋1)＋(n＋1)]
=－1/[(n＋1)(2n＋1)]Tn