Question

有理数a，b，c均不为0，且a+b+c=0，设 x=| |a| b+c + |b| a+c + |c| a+b |

有理数a，b，c均不为0，且a+b+c=0，设 x=| |a| b+c + |b| a+c + |c| a+b | ，试求x 19 -99x+2009的值．

Answer 1

∵有理数a，b，c均不为0，且a+b+c=0，
∴a，b，c中不能全同号，必有一正两负或两正一负，
∴a=-（b+c），b=-（c+a），c=-（a+b），
即
a
b+c
=-1，
b
c+a
=-1，
c
a+b
=-1
，
∴
|a|
b+c
，
|b|
c+a
，
|c|
a+b
中必有两个同号，另一个符号与其相反，
∴
|a|
b+c
，
|b|
c+a
，
|c|
a+b
的值为两个+1，一个-1或两个-1，一个+1，
∴x=1，
∴原式=1-99+2009=1911．