Question

求证：a²＋b²＋3≥ab＋√3﹙a＋b﹚[综合法和分析法]

求证：a²＋b²＋3≥ab＋√3﹙a＋b﹚[综合法和分析法]

Answer 1

分析法：
证明a²＋b²＋3≥ab＋√3﹙a＋b﹚
只需证明：
2a²+2b²+6≥2ab+2√3(a+b)
即证：
（a²-2ab+b²)+(a²-2√3a+3)+(b²-2√3b+3)≥0
即证：
（a-b)²+(a-√3)²+(b-√3)²≥0

∵(a-b)²≥0,(a-√3)²≥0,(b-√3)²≥0
∴（a-b)²+(a-√3)²+(b-√3)²≥0成立
∴a²＋b²＋3≥ab＋√3﹙a＋b﹚成立

综合法：
∵(a-b)²≥0,(a-√3)²≥0,(b-√3)²≥0
∴（a-b)²+(a-√3)²+(b-√3)²≥0
（a²-2ab+b²)+(a²-2√3a+3)+(b²-2√3b+3)≥0
∴2a²+2b²+6≥2ab+2√3(a+b)
∴a²＋b²＋3≥ab＋√3﹙a＋b﹚成立

希望帮到你，不懂请追问

追问

综合法和分析法有什么思路吗。还有一题已知m＞0,n＞0且m,x,n成等差数列，m,a,b,n成等比数列，求证2x≥a＋b

追答

分析法是执果索因，从结论入手需求成立的条件
注意解题格式

综合法：是执因导果，由条件利用不等式定理，法则直接推出结论
分析法和综合法格式上来说是相反的
本题我的综合法是将分析法逆推了

后面这道题可以利用作差比较法
∵m,x,n成等差数列
∴2x=m+n
∵m,a,b,n成等比数列，m＞0,n＞0
设公比为q,q>0
∴a=mq,b=mq²,n=mq³
∴2x-(a+b)
=m+n-a-b
=m+mq³-mq-mq²
=m[(1-q)+(q³-q²)]
=m[(1-q)-q²(1-q)]
=m(1-q)[1-q²]
=m(1-q)(1-q)(1+q)
=m(1-q)²(1+q)
∵m>0,1+q>0,(q-1)²≥0
∴m(1-q)²(1+q)≥0
∴2x-(a+b)
∴2x≥a＋b

追问

由1+q³-q-q²怎样推出(1-q²)(q+1)有公式吗？

追答

分组分解因式,没有现成的公式，这是基本方法
解答过程中已经展示的很清楚了

m(1+q³-q-q²)
=m[(1-q)+(q³-q²)]
=m[(1-q)-q²(1-q)]
=m(1-q)[1-q²]
=m(1-q)(1-q)(1+q)
=m(1-q)²(1+q)

Answer 2

综合法:
a>0,b>0
所以a^2+b^2>=2ab

a^2+3>=2√(3a^2)=2a√3
同理b^2+3〉=2b√3

相加
2(a^2+b^2+3)>=2ab+2√3(a+b)
所以a^2+b^2+3>=ab+√3(a+b)

分析法:
要证明a^2+b^2+3>=ab+根号(a+b)
即要证明:(两边作差,再乘以4)
4a^2+4b^2+12-4ab-4根号3（a+b）>=0
即有:（2a-b-根号3)^2+3(b-根号3）^2>=0
显然成立.故得证!

Answer 3

1.综合法:a²＋b²＋3≥2ab+3
a²＋b²＋3=(a+b)²+3-2ab≥2√3﹙a＋b﹚-2ab
2(a²＋b²＋3)≥2ab＋2√3﹙a＋b﹚所以a²＋b²＋3≥ab＋√3﹙a＋b﹚
2分析法：要证a²＋b²＋3≥ab＋√3﹙a＋b﹚
需证a²＋b²＋3-ab-√3﹙a＋b﹚≥0
而2a²＋2b²＋6-2ab-2√3﹙a＋b﹚=（a+b-√3)²+(a-b)²+3≥0，即a²＋b²＋3-ab-√3﹙a＋b﹚≥0显然成立，故原不等式成立

Answer 4

综合法：是执因导果，由条件利用不等式定理，法则直接推出结论
分析法和综合法格式上来说是相反的
本题我的综合法是将分析法逆推了
后面这道题可以利用作差比较法
∵m,x,n成等差数列
∴2x=m+n
∵m,a,b,n成等比数列，m＞0,n＞0
设公比为q,q>0
∴a=mq,b=mq²,n=mq³
∴2x-(a+b)
=m+n-a-b
=m+mq³-mq-mq²
=m[(1-q)+(q³-q²)]
=m[(1-q)-q²(1-q)]
=m(1-q)[1-q²]
=m(1-q)(1-q)(1+q)
=m(1-q)²(1+q)
∵m>0,1+q>0,(q-1)²≥0
∴m(1-q)²(1+q)≥0
∴2x-(a+b)
∴2x≥a＋b