Question

高等代数问题，n阶矩阵A，B特征值都大于零，A^2=B^2证A=B，求各位大神非多项式拆分的解法

刚刚看到有人用这么解，虽然看懂了，但是对于我对它的解题的思想非常陌生，请问还有别的方法可作吗，我看到的是：

首先容易验证A和B的特征多项式相同，记为f(x)，那么f(A)=f(B)=0。
再把f(x)拆成奇数次项和偶数次项两部分 f(x) = g(x) + x h(x)，其中g和h都只含x的偶数次幂，
那么 g(A)+A*h(A) = 0 = g(B) + B*h(B)，另外注意g(A)=g(B), h(A)=h(B)，所以(A-B)h(A)=0。
只需要验证h(A)可逆即得A=B。
对于A的任何特征值t>0，0=f(t)=g(t)+t*h(t)，若h(t)=0则g(t)=0，可得f(-t)=0，这与A的特征值全大于0矛盾，所以h(t)非零，即h(A)非奇异。
楼上的做法第一步额外假定了AB=BA，否则不能得到A^2-B^2=(A+B)(A-B)。
最后一句话多余了
另：这种做法是常规做法吗？

Answer 1

令X=A-B，等价于求AX=-XB这个方程，因为A，B的特征值都大于0，显然A和- B没有公共的特征值，那么方程只有0解，就是X=0，就是A=B了

Answer 2

A B特征值相同 去证他们对应特征子空间也相同，又因为正定所以可对角化 所以直和为V，所以存在正交P。。。。。。

Answer 3

亲，你这个题本身就不是常规题怎会有常规做法？一般考研的难度都不会考证两矩阵相等。先留个记号，再研究研究。

Answer 4

好像只能这样了

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