Question

求高手解高中数学题,过程需详细,谢谢。

已知向量m=(2cosx,根号3cosx-sinx),n=(sin(x+派/6),sinx),且满足f(x)=m·n。(1)求函数y=f(x)的单调递增区间;(2)设三角形ABC的内角A满足f(A)=2,a、b、c分别为角A、B、C所对的边,且向量AB·向量AC=根号3,求边BC的最小值。

Answer 1

向量m=(2cosx,√3cosx-sinx),n=(sin(x+π/6),sinx),且满足f(x)=m·n
f(x)=m·n
=2√3sinxcosx+cos²x-sin²x
=√3sin2x+cos2x
=2sin(2x+π/6)

(1).由2kπ-π/2≤2x+π/6≤2kπ+π/2,k∈Z，得：
kπ-π/3≤x≤kπ+π/6,k∈Z，
∴(x)的单调递增区间为： [kπ-π/3,kπ+π/6],(k∈Z)

(2).∵f(A)=2sin(2A+π/6)=2
∴sin(2A+π/6)=1
又∵0<A<π,故：π/6<2A+π/6<13π/6
∴2A+π/6=π/2
∴A=π/6
向量AB·向量AC=bccosA =√3bc/2=√3
∴bc=2
BC²=a²
=b²+c²-2bccosA
=b²+c²-2√3
≥2bc-2√3
=4-2√3
=(√3-1)²
∴BC≥√3-1

Answer 2

解：1、f(x)=m*n=(cosx＋sinx)(cosx－sinx)＋2√3sinxcosx=cos²x－sin²x＋√3sin2x=cos2x＋√3sin2x=2sin(2x＋π/6)，单调增区间：2kπ－π/2≤2x＋π/6≤2kπ＋π/2，得：kπ－π/3≤x≤kπ＋π/6，增区间是[kπ－π/3，kπ＋π/6]，其中k是整数。
2、f(A)=1，得：sin(2A＋π/6)=1，则A=π/6。因a/sinA=b/sinB=c/sinC，则：a/sinA=(b＋c)/(sinB＋sinC)，代入，得：sinB＋sinC=1，sinB＋sin(120°－B)=1，sinB＋(√3/2)cosB－(1/2)sinB=1，(1/2)sinB＋(√3/2)cosB=1，sin(B＋π/3)=1，得：B=30°，所以C=120°
3、根号3-1