Question

已知x/f（3x）的极限（x→0）等于2，求f（2x）/x的极限（x→0）。求大神详细说明这题的解题步骤

Answer 1

一楼答得不对，首先本题不可用洛必达法则，因为不清楚f(x)是否可导，且一楼的洛必达法则也求错了。

本题缺少一个条件，f(x)在x=0处连续
思路：先求出f '(0)，然后把所求极限转化为与f '(0)相关的结果。

lim[x→0] x/f(3x) = 2
则：lim[x→0] f(3x)/x=1/2，因此分子极限为0，lim[x→0] f(3x)=0
再由f(x)在x=0处连续，得：f(0)=0

另外，lim[x→0] f(3x)/x=1/2可知：lim[x→0] [f(3x)-f(0)]/(3x)=1/6
而上式就是f '(0)的定义，因此得：f '(0)=1/6

lim[x→0] f(2x)/x
=2lim[x→0] [f(2x)-f(0)]/(2x)
=2f '(0)
=1/3

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Answer 2

根据洛必达法则，x/f（3x）的极限（x→0）=1/f ‘（3x）（x→0）=0
说明x→0时，f ‘（3x）→正无穷大
f（2x）/x的极限（x→0）=f ‘（2x）/1=f ‘（3x）=+无穷大

追问

答案是1/3.