n→∞时,1/n和(1/n)³
求解一道极限题（不可用洛必达法则）n→∞时,limn^(1/n)=1即n开n方根的极限为1前提是不可用洛必达法则,...
求解一道极限题（不可用洛必达法则）
n→∞时,lim n^(1/n) = 1 即n开n方根的极限为1
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n→∞时,lim n^(1/n) = 1 即n开n方根的极限为1
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证：n={1+[n^(1/n)-1]}^n
=1+n[n^(1/n)-1]+[n(n-1)/2][n^(1/n)-1]²
＞[n(n-1)/2][n^(1/n)-1]²
当n＞2时,上式＞(n²/4)[n^(1/n)-1]²,
即n＞(n²/4)[n^(1/n)-1]²,整理得
0＜n^(1/n)-1＜2/√n,由夹逼准则得
lim[n^(1/n)-1]=0,即
limn^(1/n)=1
=1+n[n^(1/n)-1]+[n(n-1)/2][n^(1/n)-1]²
＞[n(n-1)/2][n^(1/n)-1]²
当n＞2时,上式＞(n²/4)[n^(1/n)-1]²,
即n＞(n²/4)[n^(1/n)-1]²,整理得
0＜n^(1/n)-1＜2/√n,由夹逼准则得
lim[n^(1/n)-1]=0,即
limn^(1/n)=1
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