证明函数f(x)=x²+1在(0,∞)是增函数
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证明：
设0<x1<x2
f(x1)-f(x2)=x1²+1-(x2²+1）
=x1²-x2²
=(x1-x2)(x1+x2)
∵ 0<x1<x2
∴ x1+x2>0,x1-x2<0
∴ f(x1)-f(x2)<0
∴ f(x1)<f(x2)
即 0<x1<x2时，f(x1)<f(x2)
∴ 函数f(x)=x²+1在(0,∞)是增函数
设0<x1<x2
f(x1)-f(x2)=x1²+1-(x2²+1）
=x1²-x2²
=(x1-x2)(x1+x2)
∵ 0<x1<x2
∴ x1+x2>0,x1-x2<0
∴ f(x1)-f(x2)<0
∴ f(x1)<f(x2)
即 0<x1<x2时，f(x1)<f(x2)
∴ 函数f(x)=x²+1在(0,∞)是增函数
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设x1小于x2
，用x1对应的函数值减去x2对应的函数值，值大于0.则是增函数
，用x1对应的函数值减去x2对应的函数值，值大于0.则是增函数
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设任意的x1< x2,且x1、x2在（0，∞）,f(x1)－f（x2）=（x1－x2）×(x1＋x2)＜0∴f(x1)＜f(x2)。∴f(x）在(0,∞)上是增函数。
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