Question

已知：函数f(x)=√2(sinx-cosx)

已知：函数f(x)=√2(sinx-cosx).(1)求f(x)的最小正周期和值域;(2)若函数f(x)的图像过点(α,6/5),π/4<α<3π/4.求f(π/4+α)的值

Answer 1

f(x)=√2(sinx-cosx)=2sin（x-π/4﹚

f(x)的最小正周期2π
值域[﹣2,2]

2sin（α-π/4﹚=6/5

sin（α-π/4﹚=3/5,α-π/4∈﹙0,π/2﹚

cos（α-π/4﹚=4/5
f(π/4+α)=2sinα=2sin[（α-π/4﹚+π/4]

=2﹙3/5×√2／2+4/5×√2／2﹚
=7√2／5

Answer 2

f(x)=√2(sinx-cosx)=√2[√2sin(x-π/4)]=2sin(x-π/4)
(1)周期=2π， 值域为[-2,2]
(2)把点(α,6/5)代入f(x), 得6/5=2sin(α-π/4), sin(α-π/4)=3/5, 0<α-π/4<π/2,所以cos(α-π/4)=4/5
f(α+π/4)=2sin[(α+π/4)-π/4]=2[sin(α-π/4)*√2/2+cos(α-π/4)*√2/2]=√2[3/5+4/5]=7√2/5

Answer 3

解：（1）用辅助角公式acosx+bsinx=根号（a²+b² ）sin(x+θ)将函数f(x)=根号2(sinx-cosx)转化为f(x)=2sin(x- π/4），函数f（x）的最小正周期和值域可求；
（2）将（α，6/5）代入f(x)=2sin(x-π/4）可得sin(α-π/4）=3/5，根据π/4＜α＜3π/4，可求cos(α-π/4）， f(π/4+α)=2sinα=2sin[(α-π/4）+π/4]，利用两角和的正弦公式可使问题得到解决；

Answer 4