Question

已知：函数f（x）=|x-1|+|x-2|（I）求不等式f（x）≤2的解集（II...

已知：函数f（x）=|x-1|+|x-2| （I）求不等式f（x）≤2的解集 （II）对于任意的实数a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f（x）恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

解：（I）函数f（x）=|x-1|+|x-2|表示数轴上差桐x对应点到1和2对应点距离之和，
而
1
2
和
5
2
在数轴上的对应点到1和2对应点的距离之和正好等于2，故不等式f（x）≤2的解集为[
1
2
，
5
2
]．
（II）对于任意的实数a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f（x）恒成立，
故
|a+b|+|a-b|
|a|
≥f（x）恒纳正成立，故
|a+b|+|a-b|
|a|
的最小值大于或等于f（x）．
由于
|a+b|+|a-b|
|a|
≥
|a+b+a-b|
|a|
=2，故有
2≥f（x），即|x-1|+|x-2|≤2．
由（I）可知，不等式f（x）≤虚茄坦2的解集为[
1
2
，
5
2
]．