Question

求离散数学高手解：

证明题：所有有理数是实数，某些有理数是整数，因此某些实数是整数。

Answer 1

解：设R（x）：x是实数。Q（x）：x是有理数。I（x）：x是整数。
本题符号化为：(??为全称量词，？存在量词）
(??x)(Q(x) →R(x)) ，(?x)(Q(x) ∧I(x)) - -> (?x)(R(x) ∧I(x))
①(?x)(Q(x) ∧ I(x) ) P
②Q(c) ∧I(c) ES ①
③(?x)(Q(x) →R(x)) P
④Q(c) →R(c) US ③
⑤Q(c) T②I
⑥ R(c) T④⑤I
⑦ I(c) T②I
⑧R(c)∧I(c) T⑥⑦I
⑨(?x)(R(x) ∧I(x)) EG⑧

Answer 2

　　解 取个体域为全总个体域，先将命题符号化。记
p(x): x 是有理数；q(x): x 是整数；r(x): x是实数，
则有
　　前提：Ax(p(x)→r(x))，Ex(p(x)∧q(x))；
　　结论：Ex(r(x)∧q(x))。
　　证明
　　 ① Ex(p(x)∧q(x)) 前提引入
② p(c)∧q(c) ①EI
③ Ax(p(x)→r(x)) 前提引入
④ p(c)→r(c) ③UI
⑤ p(c) ②化简
⑥ r(c) ③⑤假言推理
⑦ q(c) ②化简
⑧ r(c)∧q(c) ⑥⑦合取
⑨ Ex(r(x)∧q(x)) ⑧EG
注：本证明是按耿素云《离散数学》的写法，A表全称量词，E表存在量词。