Question

线性代数证明可对角化?

设A= 3 2 -1
-2 -2 2

3 6 -1

最后化简为(r-2)^2(r+4)
可知A的全部特征值为r1=r2=2,r3=-4
对r1r2=2
A-2E= 1 2 -1
0 0 0

0 0 0
3-r(A-2E)=3-1=2 =>A可对角化（为什么啊，答案这么写的没看懂啊）
答案还有一句，怕段是否可对角化，只需考察各重根特征值的几何重数是否等于代数重数。这句话什么意思啊？什么是几何重数？什么是代数重数？

Answer 1

A可对角化<=>A有n个线性无关的特征向量
<=> A的k重(这叫代数重数)特征值 有k个(这叫几何重数)线性无关的特征向量.

所以A是否可对角化, 要看A的2重特征值 2是否有2个线性无关的特征向量
因为 r(A-2E) = 1
所以 (A-2E)X=0 的基础解系含3-r = 3-1 = 2个向量
所以A可对角化.

追问

那我是不是可以理解为，假设有一个矩阵A，他有3重特征值，那么判断他是否可对角化，就判断他是否有3个线性无关的特征向量就可以了？

追答

若A是3阶就可以.
注意: 是A的任一个k重特征值 有k个线性无关的特征向量