Question

在Rt△ABC中,角C=90°,D是AB的中点,E、F分别在AC和BC上

在Rt△ABC中,角C=90°,D是AB的中点,E、F分别在AC和BC上,且DE垂直DF，求证，EF的平方=AE的平方加BF的平方。
不用'全等'的定理

Answer 1

证明：在FD的延长线上取点G，使GD＝FD，连接EG
∵∠ACB＝90
∴∠BAC+∠ABC＝90
∵D是AB的中点
∴AD＝BD
∵GD＝FD，∠BDF＝∠ADG
∴△ADG≌△BDF （SAS）
∴AG＝BF，∠GAD＝∠ABC
∴∠CAG＝∠BAC+∠GAD＝∠BAC+∠ABC＝90
∴EG²＝AE²+AG²＝AE²+BF²
∵DE⊥DF，GD＝FD
∴DE垂直平分FG
∴EF＝EG
∴EF²＝AE²+BF²

追问

不用全等的定理怎么写？

Answer 2

证明：延长FD，取DG＝DF，连接EG、EF
∵D是AB的中点
∴AD＝BD
∵DG＝DF，∠ADG＝∠BDF
∴△ADG全等于△BDF
∴AG＝BF，∠DAG＝∠CBA
∵∠C＝90
∴∠CAB+∠CBA＝90
∴∠CAB+∠DAG＝90
∴∠CAG＝90
∴直角△EAG
∴AE²+AG²＝EG²
∵DE⊥DF
∴ED垂直平分FG
∴EG＝EF
∴EF²＝AE²+BF²