Question

图形的认识包括哪两个方面

Answer 1

“图形与几何”是20111版《课标》设置的四个内容领域之一。“图形与几何”内容属欧氏几何范畴。“几何”一词来源于希腊，最早是指尼罗河流域的古埃及人发明的测量土地的科学。欧几里得在公元前300年左右对前人长期积累的几何知识加以系统整理，运用定义、公理和演绎推理的方法，写成巨著《几何原本》，创立了欧氏几何体系。其后，笛卡儿创立坐标系，产生了解析几何；欧拉创立了微分几何；庞赛列创立了射影几何：蒙日创立了画法几何，丰富了几何的研究方法，扩大了几何研究对象。19世纪，产生了非欧几何的另两个不同的体系：罗巴切夫斯基几何和黎曼几何。1899年，德国数学家希尔伯特在总结前人工作的基础上，发表《几何基础》一书，奠定了比较完善的现代几何学的公理体系。

“图形与几何”主要研究图形，而图形是空间形式的主要表现。因此，对图形的研究要以发展学生的空间观念、几何直观、推理能力为核心。

2011版《课标》出，“空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等”。

发展空间观念的主要途轻是实现实物或情景、模型或图形、语言文字或符号之间的双向转化，二维图形与三维图形之间的双向转化。这里需要注意的是“双向”。一个方向是在建构，另一个方向是在解构；一个方向是从具象到抽象，另一个方向是从数学回到实际，在这样的双向转化过程中才能有效地发展空间观念。发展空间观念的主要方式是实验操作、观察

和想象。实验操作是“图形与几何”教学的基本出发点，这既是内容本身的特点，更是由学生年龄特点决定的。观察是从直观感受过渡到表象、抽象的必要环节，是在直观操作基础上的思维活动，观察过程中还会再伴有操作。而想象则更多的是基于表象材料基础上的思维活动。空间观念的发展需要经验的不断积累、想象力的不断丰富，教学中要为学生提供足够的

时间和空间去操作、观察和想象。

2011版《课标》把几何直观作为核心概念，指明了几何课程发展的方向。这昭示着数学在研究图形中，不仅要关注研究方法、研究结论，还要关注学生对图形的直观性在问题研究、解决的优越性方面的感悟。2011版《课标》指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思

路，预测结果。”

在“图形与几何”的教学中注重发展几何直观，一方面在运动或变换的直观背景下易于认识、理解、掌握图形的性质；另一方面对几何直观能力也是一种提升。在其他领域的学习中运用几何直观，可使抽象的数、代数、统计和概率等问题变得直观易于理解。

2011版《课标》把推理能力作为十个核心词之一，明确要求“要发展合情推理和演绎推理能力”。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。具有一定的推理能力是培养学生数学素养的重要内容，也是数学课程重要目标。推理能力的发展应该贯穿于整个数学学习过程中。

数学推理一般包括演绎推理和合情推理两种，其中归纳推理和类比推理是两种用途最广的特殊合情推理。教学中，可以开展操作、实验、观察等活动，鼓励学生大胆猜想、实验验证、交流表达推理过程，从而发展学生的推理能力。

“图形与几何”领域安排的内容较多、跨度大，整体把握这一领域课程，理清线索，建立结构，找准“站在哪儿”、看准“要去哪儿”、认真研究“怎样去”，对提高教学的基础性、系统性、连续性尤为重要。“图形与几何”第一、第二学段的主要内容有4个部分15个方面，结构如图：

图形认识主要包括两个方面：一是对图形自身特征的认识，它是进一步步研究图形的基础。在三个学段中，对同一个或同一类图形分层次完成认识---从“辨认”到“初步认识”，再从“认识”到“探索并证明”。二是对图形各元素之间、图形与图形之间的关系的认识，主要包括大小、位置、形状之间关系的认识。

图形是人类长期通过对客观物体的观察逐渐抽象出来的，图形认识的课程安排是分段逐层完成的。因此，教学要准确把握各学段要求。第一学段主要是通过观察实例或情境、操作实物或具体模型，直观地、整体地认识常见的立体图形和平面图形。第二学段需要更多的抽象与想象的参与---一方面有些概念没有实物模型，另一方面有助于学生发展抽象能力和空间观念。同时，要关注基于图形的想象和图形之间的转换，如通过“不同方向看到的”、“展开与折叠”等过程，引导学生辨认、观察、抽象、想象，发展空间观念。此外，还要注重以知识为载体渗透数学思想，积累数学活动经验。

图形的测量是对一维长度、二维面积、三维体积的度量操作。度量的关键是设立统一、适当的单位，从而使度量从个体的、特殊的测量活动成为一般化的、可以大范围相互交流的前提。教学中应为学生提供必要的机会，鼓励学生选择不同的方法进行测量，让学生通过测量活动体验单位的实际意义，选择适当的单位、测量工具及方法，对测量过程的便利进行和测量结果的准确程度产生影响。

图形的运动最基本的形式有两种：一是形状和大小不变，仅仅位置发生变化（合同运动）；二是形状不变而大小变化（相似运动）。通过图形的运动探索发现并确认图形的一些性质，有助于学生发展几何直观能力和空间观念，有利于学生提高研究图形性质的兴趣，从中体会研究图形性质可以有不同方法。

图形的位置第一学段的学习是定性地刻画物体的位置，用“上、下，左、右，前、后”描述物体的相对位置---与观察者和参照物都有关；用“东、南、两、北”等描述物体的绝对位置---不受观察者的影响，只与参照物有关。两种方式在不同场合下会带来不同的便利。第二学段则是定量刻画物体的位置，即用数对表示物体的位置，是解析几何的基础。

后续部分主要对第一、第二学段即小学数学教学中涉及的图形中的主要概念做具体分析。