Question

已知一条直线y=kx+m(k≠0)与椭圆x^2 ／3+y^2=1交于两个不同的点M,N,且M,N到点A(0,-1)的距离相等求m的范围

Answer 1

解：
椭圆与x轴、y轴分别交于A(0,-1)
∵L与椭圆相交的两点到A的距离相等
∴此两点所构成的线段的垂直平分线过A点
联立y=kx+b和x²+3y²=3
则3=x²+3(kx+b)²=(1+3k²)x²+6kbx+3b²，即(1+3k²)x²+6kbx+3(b²-1)=0
设两交点分别为(x1,y1),(x2,y2)
则x1+x2=-6kb/(1+3k²)，x1x2=3(b²-1)/(1+3k²)
则y1+y2=(kx1+b)+(kx2+b)=k(x1+x2)+2b=-6k²b/(1+3k²)+2b=2b/(1+3k²)
∵存在2个交点
∴判别式△=36k²b²-12b²-36k²b²+12+36k²=36k²-12b²+12>0
∴3m²-b²+1>0
两交点的中点坐标为(-3kb/(1+3m²),b/(1+3m²))
∵垂直平分线垂直与L，∴斜率为-1/m
又∵垂直平分线过A点，∴方程为y-(-1)=-1/m×(x-0)，即y=-(1/m)x-1
又∵中点在垂直平分线上
∴b/(1+3m²)=-(1/m)[-3kb/(1+3m²)]-1
整理得：3m²-2b+1=0
∴b=(3m²+1)/2
代入判别式的结论3m²-b²+1>0
得：3m²-(3m²+1)²/4+1>0，即3m⁴-2k²-1<0，即(m²-1)(3m²+1)<0
∵3m²+1>0
∴m²-1<0
即-1<m<1