Question

已知椭圆C:x^2/16+y^2/9=1,直线l经过点P并与椭圆C交于A,B两点,求当l的倾斜角变化时，弦中点的轨迹方程

如上
p(1,2)

Answer 1

设中点D(x,y)
(yA-yB)/(xA-xB)=k
xA+xB=2x,yA+yB=2y
x²/16+y²/9=1
9x²+16y²=144
9(xA)²+16(yA)²=144......(1)
9(xB)²+16(yB)²=144......(2)
(1)-(2):
9(xA+xB)*(xA-xB)+16(yA+yB)*(yA-yB)=0
9(xA+xB)+16(yA+yB)*(yA-yB)/(xA-xB)=0

9×2x+16×2y*k=0,即9x+16ky=0......(3)
k=(yA-yB)/(xA-xB)=(yP-yD)/(xP-xD)=(2-y)/(1-x)
带入(3)得9x+16y×(2-y)/(1-x)=0
(x-0.5)²/16+(y-1)²/9=25/576
弦中点的轨迹方程:(x-0.5)²/(25/36)+(y-1)²/(25/64)=1

很高兴为你解答，希望对你有帮助。有不明白的地方请追问，满意的话请采纳。谢谢！

Answer 2

解：设弦中点为M（x，y），交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．当M与P不重合时，A、B、M、P四点共线．
∴（y₂-y₁）（x-1）=（x₂-x₁）（y-2），①
由x1216+y129=1，x2216+y229=1两式相减得(x1−x2) (x1+x2) 16+(y1−y2)  (y1+y2) 9=0．
又x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
∴2x(x1−x2) 16=-2y(y1−y2) 9，②
由①②可得：9x²+16y²-9x-32y=0，③
当点M与点P重合时，点M坐标为（1，2）适合方程③，
∴弦中点的轨迹方程为：9x²+16y²-9x-32y=0．

Answer 3

点P在哪里？