Question

已知点A(4,1),B(0,4)试在直线L;3x-y-4=0上找一点P使|PA|-PB|的绝对值最大,并求最大值

Answer 1

A(4,1),B(0,4)在直线L;3x-y-4=0的异侧
设B关于L的对称点为B'(m,n)
BB'的中点M(m/2,(n+4)/2)
则kBB'=(n-4)/m=-1/3
3m/2-(n+4)/2-4=0
解得m=24/5,n=14/5
∴B'(24/5,12/5)
∴||PA|-|PB||=||PA|-|PB'||≤|AB'|
当P,A,B'三点共线时，取等号
（不共线时两边只差小于第三边）
直线AB':y=7/4x-6
由｛y=7/4x-6
{3x-y-4=0
解得P（-8/5,-44/5)
∴P坐标为（-8/5,-44/5)
最大距离为|AB'|=√[(4-24/5)²+(1-12/5)²]=√65/5

Answer 2

通过作图，容易得出：A、B在直线L的两侧。
作点A关于直线L的对称点C，直线BC与直线L的交点就是点P。
下面证明这个结论。
∵A、C关于直线L对称，∴PA＝PC，又B、C、P共线，
∴｜PA－PB｜＝｜PC－PB｜＝｜BC｜。

在直线L上取点P外的任意一点Q。
显然有：QA＝QC，且B、C、Q构成一个三角形，∴｜QA－QB｜＝｜QC－QB｜＜｜BC｜。
∴点P是满足条件的点。

下面求出点P的坐标。
由对称图形性质，有：AC⊥直线L，而直线L的斜率＝3，∴AC的斜率＝－1/3。
∴AC的方程是y－1＝－（1/3）（x－4），即：y＝－x/3＋7/3。
∴可设点C的坐标为（m，－m/3＋7/3）。
由中点坐标公式，得：AC的中点D的坐标为（（m＋4）/2，（－m/3＋7/3＋1）/2）。

由对称图形性质可知：点D在直线L上，
∴3［（m＋4）/2］－（－m/3＋7/3＋1）/2－4＝0，
∴3（m＋4）－（－m/3＋10/3）－8＝0，
∴9（m＋4）－（－m＋10）－24＝0，∴9m＋36＋m－10－24＝0，
∴10m＝－2，∴m＝－1/5。
∴－m/3＋7/3＝－（－1/5）/3＋7/3＝1/15＋35/15＝36/15＝12/5。
∴点C的坐标为（－1/5，12/5）。
∴BC的斜率＝（4－12/5）/（0＋1/5）＝20－12＝8，∴BC的方程是：y＝8x＋4。

联立：y＝8x＋4、3x－y－4＝0，消去y，得：3x－（8x＋4）－4＝0，
∴3x－8x－4－4＝0，∴5x＝－8，∴x＝－8/5，∴y＝8x＋4＝－64/5＋4＝－44/5。
∴点P的坐标是（－8/5，－44/5）。
∴｜PA－PB｜的最大值＝｜BC｜＝√［（0＋1/5）^2＋（4－12/5）^2］＝√65/5。

Answer 3

题目没有完整 是不是 |PA|-|PB|? 请确认！