Question

如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD垂直平面ABCD,AB平行DC,三角形PAD是等边三角形,已知BD=2AD=4,AB=2DC=2根号5

（1）求证BD垂直平面PAD
(2)求四棱锥A-PCD的体积
只做第一问！
能做的话第二问也行

Answer 1

1、取AD中点M,连结BM,PM,
∵BD=2AD=4,
∴BD^2+AD^2=16+4=20=AB^2,
∴根据勾股定理逆定理,△ABD是RT△,
∴<BDA=90°,即BD⊥AD,
∵△PAB是正△,PM是AD边上的中线,
∴PM⊥AD,
∵平面PAD⊥平面ABCD,
∴PM⊥平面ABCD,
∵BD∈平面ABCD,
∴PM⊥BD,
∵PM∩AD=M,
∴BD⊥平面PAD.
2、取AB中点N，连结CN，
∵AN=AB/2=√5=CD，且AN//CD，
∴四边形ANCD是平行四边形，
而△CNB与平行四边形同底等高，
∴S△CNB是四边形ADCN的一半，
∴S△ADC=S梯形ABCD/3，
S△ABD=AD*BD/2=2*4/2=4，
S△BDC=S△ABD/2=2，
∴S梯形ABCD=4+2=6，
∴S△ACD=6/3=2，
PM=AD*√3/2=√3，
∴VP-ACD=S△ACD*PM/3=2√3/3。