初等数论题,怎么证明:(2^m-1,2^n-1)=2^(m,n)-1好像用辗转相...
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下面所有字母都表示正整数.
2^(ab)-1=(2^a)^b-1
=
(2^a
-1)((2^a)^(b-1)+...+2^a
+1)
===》
2^a
-
1
|
2^(ab)-1
于是:2^(m,n)-1
|
2^m-1,2^(m,n)-1|
2^n-1
==》2^(m,n)-1
|
(2^m-1,2^n-1)
设
(m,n)
=
am
-
bn,(2^m-1,2^n-1)
=
M.
则:
M|2^m-1
=》
M|2^(am)
-1,
M|2^n-1
=》
M|2^(bn)
-1,
==>
M|((2^(am)
-1)
-(2^(bn)
-1))
M|
2^(bn)*(2^(am-bn)
-1)
===>
M
|
2^(am-bn)
-1,
即:M|
2^(m,n)
-
1
所以
(2^m-1,2^n-1)=2^(m,n)-1
2^(ab)-1=(2^a)^b-1
=
(2^a
-1)((2^a)^(b-1)+...+2^a
+1)
===》
2^a
-
1
|
2^(ab)-1
于是:2^(m,n)-1
|
2^m-1,2^(m,n)-1|
2^n-1
==》2^(m,n)-1
|
(2^m-1,2^n-1)
设
(m,n)
=
am
-
bn,(2^m-1,2^n-1)
=
M.
则:
M|2^m-1
=》
M|2^(am)
-1,
M|2^n-1
=》
M|2^(bn)
-1,
==>
M|((2^(am)
-1)
-(2^(bn)
-1))
M|
2^(bn)*(2^(am-bn)
-1)
===>
M
|
2^(am-bn)
-1,
即:M|
2^(m,n)
-
1
所以
(2^m-1,2^n-1)=2^(m,n)-1
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