Question

若函数f（x）=对任意的实数x，均有f（x-1）+f（x+1）＞2f（x），则称...

若函数f（x）=对任意的实数x，均有f（x-1）+f（x+1）＞2f（x），则称函数f（x）具有性质P． （1）判断函数y=x3是否具有性质P，并说明理由； （2）若函数f（x）具有性质P，且f（0）=f（n）=0（n＞2，n∈N*）． ①求证：对任意i∈{1，2，3，…，n-1}，都有f（i）≤0； ②是否对任意x∈[0，n]，均有f（x）≤0？若成立，请加以证明；若不成立，请给出反例并加以说明．

Answer 1

（1）解：函数f（x）=x3不具有性质P．…（4分）
例如，当x=-1时，f（x-1）+f（x+1）=f（-2）+f（0）=-8，2f（x）=-2，…（5分）
所以，f（-2）+f（0）＜f（-1），
此函数不具有性质P．
（2）①证明：假设f（i）为f（1），f（2），…，f（n-1）中第一个大于0的值，…（6分）
则f（i）-f（i-1）＞0，
因为函数f（x）具有性质P，
所以，对于任意n∈N*，均有f（n+1）-f（n）≥f（n）-f（n-1），
所以f（n）-f（n-1）≥f（n-1）-f（n-2）≥…≥f（i）-f（i-1）＞0，
所以f（n）=[f（n）-f（n-1）]+…+[f（i+1）-f（i）]+f（i）＞0，
与f（n）=0矛盾，
所以，对任意的i∈{1，2，3，…，n-1}有f（i）≤0．…（9分）
②解：不成立．
例如f（x）=x(x-n)，x为有理数 x2，x为无理数…（10分）
证明：当x为有理数时，x-1，x+1均为有理数，f（x-1）+f（x+1）-2f（x）=（x-1）2+（x+1）2-2x2-n（x-1+x+1-2x）=2，
当x为无理数时，x-1，x+1均为无理数，f（x-1）+f（x+1）-2f（x）=（x-1）2+（x+1）2-2x2=2
所以，函数f（x）对任意的x∈R，均有f（x-1）+f（x+1）≥2f（x），
即函数f（x）具有性质P．…（12分）
而当x∈[0，n]（n＞2）且当x为无理数时，f（x）＞0．
所以，在①的条件下，“对任意x∈[0，n]均有f（x）≤0”不成立．…（13分）