Question

第一题2^t，第二题1/(1+x^2)，第三题1/(1-x^2)^(1/2)的定积分以及反导过程。

Answer 1

y = 2^t，先运用对数求导法，然后两边取积分
lny = ln(2^t) = t * ln2
y'/y = ln2
y' = y * ln2
y = ∫ y * ln2 dt = ln2 * ∫ y dt
∫ y dt = y/ln2
==> ∫ 2^t dt = 2^t/ln2 + C

∫ dx/(1 + x²)，令x = tanz，dx = sec²z dz
= ∫ 1/(1 + tan²z) * (sec²z dz)
= ∫ 1/|sec²z| * (sec²z dz)
= z + C
= arctan(x) + C

∫ dx/√(1 - x²)，令x = sinz，dx = cosz dz
= ∫ 1/√(1 - sin²z) * (cosz dz)
= ∫ |cosz| * (cosz dz)
= z + C
= arcsin(x) + C

楼上胡说，即是公式也有推导过程。
提问人既然问到这样的基础问题想必是想知道推导过程而不是直接运用公式。
最讨厌那些不带脑子回答题目，一味自以为是的。

Answer 2

都是基本公式,无过程
亅2^tdt=2^t/ln2
亅1/(1+x^2)dx=arctanx+C
亅1/(1-x^2)^(1/2)dx=arcsinx+C