Question

过点p（2，1）的直线l与椭圆x^2/2+y^2=1相交 （1）交于A,B OA⊥OB，求l的方程...

过点p（2，1）的直线l与椭圆x^2/2+y^2=1相交
（1）交于A,B OA⊥OB，求l的方程，并求三角形OAB的面积
（2）若FA⊥FB，求l的方程

高二数学可能有一个无解，去帮助

Answer 1

设l的方程为y-1=k(x-2)

将l的方程代入x²/2+y²=1，得：
(2k²+1)x²-4k(2k-1)x+8k(k-1)=0
(2k²+1)y²+2(2k-1)y+(2k²-4k+1)=0

要使得上述两个方程有两个不同的实数解，就要使得Δ1>0，Δ2>0
Δ1=[-4k(2k-1)]²-4*(2k²+1)*8k(k-1)>0　⇒　0<k<2
Δ2=[2(2k-1)]²-4*(2k²+1)*(2k²-4k+1)>0　⇒　0<k<2
k必须满足0<k<2

记A(x1,y1)、B(x2,y2)

于是有：
x1+x2=4k(2k-1)/(2k²+1)
x1x2=8k(k-1)/(2k²+1)
y1y2=(2k²-4k+1)/(2k²+1)

（1）
向量OA={x1,y1}，向量OB={x2,y2}
因为OA⊥OB，所以向量OA·向量OB=x1x2+y1y2=0
所以8k(k-1)/(2k²+1)+(2k²-4k+1)/(2k²+1)=0
解得k=(3±√26)/10
因为0<k<2，所以k=(3+√26)/10

（2）
情况1：F为左焦点(-1,0)
向量FA={x1+1,y1}，向量FB={x2+1,y2}
因为FA⊥FB，所以向量FA·向量FB=(x1+1)(x2+1)+y1y2=0
所以8k(k-1)/(2k²+1)+4k(2k-1)/(2k²+1)+1+(2k²-4k+1)/(2k²+1)=0
解得k=(4±√6)/10
情况2：F为右焦点(1,0)
向量FA={x1-1,y1}，向量FB={x2-1,y2}
因为FA⊥FB，所以向量FA·向量FB=(x1-1)(x2-1)+y1y2=0
所以8k(k-1)/(2k²+1)-4k(2k-1)/(2k²+1)+1+(2k²-4k+1)/(2k²+1)=0
解得k=(2±√2)/2

Answer 2

解:设过点P的直线y=k(x-2)+1=kx-2k+1代入椭圆, 整理得(2k²+1)x²+(4k-8k²)x+(8k²-8k)=0
△=(4k-8k²)²-4(2k²+1)(8k²-8k)=32k-16k²>0得0<k<2时有两个不相等的实数根. 设为x1 x2
则x1+x2=(8k²-4k)/(2k²+1) x1x2=(8k²-8k)/(2k²+1)
设A(x1, y1) B(x2, y2) 有y1+y2=k(x1+x2)-4k+2=(2-4k)/(2k²+1) y1y2=k²x1x2+k(1-2k)(x1+x2)+(1-2k)²=(2k²-4k+1)/(2k²+1)
(1)∴OA⊥OB∴y1/x1*y2/x2=-1即(y1y2)/(x1x2)=-1 有8k²-8k=-2k²+4k-1 10k²-12k+1=0
k=(6-根号26)/10或者k=(6+根号26)/10---------------------------------好烦,不想做了

求出点A B再求出OA OB 从而面积为1/2*OA*OB
(2)先求出一个焦点F, 再求出FA FB的斜率 , 斜率之积为-1 建立方程求出k. 从而求出直线l