Question

数学圆问题

若圆心在x轴上、半径为根号5的圆C位于y轴左侧，且被直线x+2y=0截得的弦长为4，则圆C的方程是

Answer 1

设圆C方程是(x-a)^2 +y^2=5，
将直线方程x+2y=0带入圆方程得：
（-2y-a)^2 +y^2 =5
化简得 5y^2 +4ay+(a^2 -5)=0
根据韦达定理可得
y1+y2=4a/5
y1 y2=(a^2 -5)/5
(y1-y2)^2=(4a/5)^2 -4[(a^2-5)/5]=4-(4/25)a^2
因为x2-x1=2(y2-y1)
所以 （x1-x2)^2=4(y1-y2)^2=16-(16/25)a^2
根据弦长是4，得到方程
4-(4/25)a^2 +16-(16/25)a^2=16
解得 a^2=5
所以 圆C是：(x-根号5）^2 +y^2=5
或(x+根号5）^2 +y^2=5

Answer 2

设直线y=（-1/2）x与圆交于A，B两点，

过圆心C作CD⊥AB于D，

∵直线中的x：y=2：1，

∴BD：CD=2：1

当BD=2，OB=√5，∴CD=1，

即点B于点O重合，

圆心C的坐标（-√5，0）

圆的方程：（x+√5）²+y²=5。

Answer 3

设圆心的坐标是（a,0)，a<0
因为半径为根号5弦长为4
则弦心距是1
由点到直线的距离公式得
IaI/根号（1+（-1/2)^2)=1
a=+-2/5根号5
所以
a=-2/5根号5
则圆C的方程是（x+2/5根号5)^2+y^2=5

Answer 4

圆的方程(x+a1)²+y²=5
知道了弦长为4，圆半径是√5，则 圆心到直线的距离为1.
直线的方程已知，那么直线的倾斜角的正弦值tgβ=-1/2.
则圆心、弦的中点、原点组成的直角三角形中，设圆心为a,弦的中点b,原点O.则
tg∠aOb=-1/2，计算出|bO|=2，则|aO|=√5,
所以圆的方程(x+√5)²+y²=5

Answer 5

这得设未知数，找等式关系，设出圆的方程，列出等式关系中涉及的等式关系式，然后连立，化成圆方程的形式，对应的未知数就能表示出来设圆心为-a,0 则圆方程为x a）² y²=5
把圆方程与直线方程连立，解出两个交点的坐标（用a表示的）然后两点间距离公式，等于4，就能解出a的值，从而写出圆方程