Question

一道线性代数问题

对于任意的x≠0，矩阵C可逆，为什么Cx≠0？？？x是一个非零向量，C可逆与Cx≠0有什么关系？？？克莱默法则不是说“齐次线性方程组的系数行列式≠0，方程组没有非零解”么？
从克莱默法则我好像明白了什么，不过还是看看别的看法吧

Answer 1

对于第一个问题“对于任意的x≠0，矩阵C可逆，为什么Cx≠0？？？”
可以用反证法，即假设矩阵C可逆（矩阵C对应的行列式≠0），且Cx=0
则根据克莱默法则得，齐次线性方程组Cx=0有且只有零解，即x=0，这显然与条件x≠0矛盾
因此，对于任意的x≠0，矩阵C可逆，Cx≠0成立

对于第二个问题“x是一个非零向量，C可逆与Cx≠0有什么关系？？？”
通过以上论述，显然可以得到：若x是一个非零向量，且矩阵C可逆，则Cx≠0一定成立
反过来，若x是一个非零向量，且Cx≠0，则矩阵C可逆不一定成立，论证如下：
因为Cx≠0，因此假设Cx=b(向量b≠0)
又因为x是一个非零向量
所以非齐次线性方程组Cx=b有非零解，但不一定唯一
若解唯一，则根据克莱默法则，非齐次线性方程组Cx=b有唯一非零解，因此矩阵C可逆
若解不唯一，则非齐次线性方程组Cx=b有无穷多解，因此矩阵C不可逆，举例如下：
向量x=(1, 2)T非零，矩阵C=(1 -1; 2 -2)不可逆，但Cx=(1*1-1*2, 2*1-2*2)=(-1, -2)≠0仍成立
综上所述，x是一个非零向量，“矩阵C可逆”是“Cx≠0”的充分非必要条件

Answer 2

C可逆说明其列向量组线性无关，则线性表达式 Cx 只有在 x=0 时才会 =0，故当x非零时，Cx一定非零。

Answer 3

如果Cx=0,两边左乘C^(-1)即得x=0矛盾
x是任意一个非零向量，C可逆与Cx≠0等价。这与克莱默法则说“齐次线性方程组的系数行列式≠0，方程组没有非零解”不是一回事吗

Answer 4

如果C可逆，两边左乘C的逆，得 X=0，与X非零矛盾，至于你说的Gramer法则，我建议你不要记定理，应该明白定理为什么会有这个结论....

Answer 5

若 Cx=0
因为C可逆, 所以 x = C^-1Cx = 0, 与 x≠0矛盾
所以 Cx≠0.

或者由Cramer法则, 当C可逆时, 由Cx=0必有x=0
亦即 x≠0 则 Cx≠0 (逆否命题)