利用换元法求函数y=x 根号的值域
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举例说明。
求y=x+√(x+1)的值域
解：
y=x+√(x+1)的定义域：
欲使函数有意义，必须有x+1≥0
解得，x≥-1
y=x+√(x+1)的定义域：[-1，+∞)
令t=√(x+1)(t≥0)，则x=t²-1
所以，y=t²-1+t(t≥0)
原问题等价于“求y=t²-1+t(t≥0)的值域”
y=t²-1+t
=(t+1/2)²-5/4
其在[0，+∞)上单调递增。
所以，y=t²-1+t在t=0时取得最小值。
所以，y_min=-1
所以，y=t²-1+t(t≥0)的值域是[-1，+∞)
综上，
y=x+√(x+1)的值域是[-1，+∞)
求y=x+√(x+1)的值域
解：
y=x+√(x+1)的定义域：
欲使函数有意义，必须有x+1≥0
解得，x≥-1
y=x+√(x+1)的定义域：[-1，+∞)
令t=√(x+1)(t≥0)，则x=t²-1
所以，y=t²-1+t(t≥0)
原问题等价于“求y=t²-1+t(t≥0)的值域”
y=t²-1+t
=(t+1/2)²-5/4
其在[0，+∞)上单调递增。
所以，y=t²-1+t在t=0时取得最小值。
所以，y_min=-1
所以，y=t²-1+t(t≥0)的值域是[-1，+∞)
综上，
y=x+√(x+1)的值域是[-1，+∞)
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