Question

请教一道数学概率题，求高人解答，感激不尽！！

李红，小明，大张三位同学在拿到四首不同的歌曲，讨论他们各自喜欢哪首。没有一首歌是被三人全部同时喜欢，并且，对于由三人中任意两人所组成的组合，至少有一首歌被这两人喜欢，而剩下的一人却不喜欢。有多少种可能性能够满足以上条件？
忘记说了，这道题的答案是132.

Answer 1

我们分步来看：
第一种情况：随便两个人都只喜欢一首，另外一个人情况有喜欢一首，两首，三首或者不喜欢为零。
那么则有C(3，2)×C（4,1）+C（3,1）×C（3,1）+C（3,1）×C（3,2）+C（3,1）×C（3,3）+C（3,2）×C（4,1）=45
解析：C(3，2)×C（4,1）表示在3个人中任意选取2个人，他们俩只喜欢1首歌的情况，我们用（AB）表示选中了A、B2个人。用1、2、3、4表示4首歌曲。(C0表示没有一首喜欢的）
(AB)1

C2
C3
C4
(AB)2
C1
C3
C4

(AB)3
C1
C2
C4

(AB)4
C1
C2
C3
类似的还有（AC) （BC）。
（AB）一共有12种，那么（AC) （BC）（AB）一共有3×12=36种
①C（3,1）×C（3,1）中第一个C（3,1）表示的意思是剩余那个人的取法，也就是在3个人中选一个人出来，有3种方法。第二个C（3,1）是因为ABC3个人不能同时喜欢同一首歌，那么先前2个人喜欢了一首歌，那么剩余的这个人只能从剩余的3首歌中选一首，也是3种。

②C（3,1）×C（3,2）和C（3,1）×C（3,3）是剩余那个人喜欢2首歌和3首歌的情况
③C（3,2）×C（4,1）表示的意思是剩余的那个人在这4首歌中没有1首喜欢的。因为其式子和2个人喜欢一首是一样的，所以在下面的整体表达式子中和前面的C（3,2）×C（4,1）合并成为2×C（3,2）×C（4,1）
分析了第一种情况，接下来把其他几种情况简略说一下，具体的推导参见上面的过程；
第二种情况是：
2个人喜欢2首；剩余那个人喜欢1首、2首或者不喜欢
2×C(3，2)×C(4,2)+C(3，1)×C(2,1)+C(3,1)×C(2,1)=45
第三种情况是：
2个人喜欢3首；剩余那个人喜欢1首或者不喜欢

2×C(3，2)×C(4,3)+C(3，1)=39

第四种情况是：
2个人喜欢4首，剩余那个人没有1首喜欢的
C(3，2)×C(4,4)=3

所以综上所述：第一、二、三、四中情况的综合=45+45+39+3=132
过程有些复杂，如有疑问还望追问，谢谢！

Answer 2

我认为这个答案是错误的。
从歌出发看，对于任意一首歌，被这3个人喜欢的可能是：李、小、张、李小、李张、小张，共6种可能，还有一种李小张已被否定；显然其它各种可能都已经涵盖在此6中可能之中了，4首歌，共有4×6=24种可能。如果考虑到还有一种可能，就是一首歌三人全不喜欢，那就是4×7=28种可能。不可能凑出132种可能，里面必然有重复。

Answer 3

2*c(4,2)c(2,1)c(2,1)+c(4,2)c(2,1)(c(2,1)+c(2,2))
+
c(4,3)c(3,1)(c(2,1)+c(2,2))+c(4,3)c(3,2)
=132