Question

设 A,B分别为m*n,s*n矩阵,证明AX=0 与BX=0同解的充要条件是A,B的行向量等价.

Answer 1

证: 充分性
因为A与B的行向量组等价
所以A可经初等行变换化为B
所以存在可逆矩阵P, 使得 PA=B
易知 AX=0 的解是 PAX=0 的解.
反之, PAX=0 的解 也是 P^-1PAX=0 即 AX=0 的解
所以 AX=0 与 PAX=0 同解
即 Ax=0与Bx=0同解.
必要性
由 Ax=0与Bx=0同解
知 A,B 的行简化梯矩阵相同
即存在可逆矩阵P,Q,使得 PA=QB
所以 Q^-1PA=B
所以 A与B的行向量组等价.

Answer 2

因为AX=0,BX=0同解，所以AX=0,{AX=0,BX=0}同解，所以n-r(A)=n-r(A,B)(注A是m*n,B是s*n,这里A,B是(m+s)*n,不好打，所以将就下)，所以B行向量可以由A表出，同理A可由B表出。。。。。PA=B,P为可逆矩阵，AX=0,则PAX=0,所以AX=0的解为BX=0解，同理，BX=0的解也为AX=0的解