Question

已知函数.()若,求函数在上的最大值;()若对任意,有恒成立,求的取值范围.

已知函数. ()若,求函数在上的最大值; ()若对任意,有恒成立,求的取值范围.

Answer 1

()时写出,求出,解方程,列出当变化时,的变化表,由表格可得函数在上的最大值;()对任意,有恒成立,等价于,分,,三种情况进行讨论,利用导数即可求得在上的最小值,然后解不等式可得的范围;
解:当时,,,令,得,,列表:-当时,最大值为.(),令,得,,若,在上,,单调递减,在上,,单调递增.所以,在时取得最小值,因为,,所以.所以当时,对任意,不成立;若,,所以在上是增函数,所以当时,有;若,在上,,单调递减,在上,,单调递增.所以,在时取得最小值,令,由,得,,所以当时,对任意,都成立.综上,的取值范围是.
本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值,函数恒成立,函数恒成立问题常转化为函数的最值解决,体现了转化思想.