Question

已知奇函数f（x）的定义域为[-1，1]，当x∈[-1，0）时，f（x）=-(1...

已知奇函数f（x）的定义域为[-1，1]，当x∈[-1，0）时，f（x）=-(12)x． （1）求函数f（x）在[0，1]上的值域； （2）若x∈（0，1]，14f2（x）-λ2f（x）+1的最小值为-2，求实数λ的值．

Answer 1

解：（1）设x∈（0，1]，则-x∈[-1，0）时，所以f（-x）=-(12)-x=-2x．
又因为f（x）为奇函数，所以有f（-x）=-f（x），
所以当x∈（0，1]时，f（x）=-f（-x）=2x，所以f（x）∈（1，2]，
又f（0）=0．
所以，当x∈[0，1]时函数f（x）的值域为（1，2]∪{0}．
（2）由（1）知当x∈（0，1]时，f（x）∈（1，2]，
所以12f（x）∈（12，1]．
令t=12f（x），则
12＜t≤1，
g（t）=14f2（x）-λ2f（x）+1=t2-λt+1=(t-λ2)2+1-λ24，
①当λ2≤12，即λ≤1时，g（t）＞g（12），无最小值，
②当12＜λ2≤1，即1＜λ≤2时，g（t）min=g（λ2）=1-λ24=-2，
解得λ=±2√3 （舍去）．
③当λ2＞1，即λ＞2时，g（t）min=g（1）=-2，解得λ=4，
综上所述，λ=4．