Question

高等代数多项式有理数域可约问题，f不可约的充要条件是g(x)=f(ax+b)不可约，怎么样才能找到适合的b呢？

比如：f=x^6+x^3+1,直接用爱森斯坦判别法不行，但如果找到合适的y=x+b就可以用了，但是这个b不知道怎么找，大家有什么方法能找到合适的b吗？

Answer 1

既然是有理数域可约问题，一般可以尝试y=x+1，y=x-1，y=x+2，y=x-2，y=2x+1，y=2x-1等
因为根据艾森斯坦判别法，最高次系数越小，其它次项系数越大，更容易找到不能整除最高次系数而能整除其它次项系数的素数。再者，多项式各项系数过大也不易于寻找满足条件的素数

对于你所提及的x^6+x^3+1，令y=x-1，则x=y+1
x^6+x^3+1
=y^6+6y^5+15y^4+20y^3+15y^2+6y+1 + y^3+3y^2+3y+1 + 1
=y^6+6y^5+15y^4+21y^3+18y^2+9y+3
对于素数3，3不能整除1；3能整除6、15、21、18、9、3；3^2不能整除3
所以多项式y^6+6y^5+15y^4+21y^3+18y^2+9y+3在有理数域内不可约
即，多项式x^6+x^3+1在有理数域内不可约

Answer 2

通过我所接触到的这类题目，用x=y+1，x=y-1其中之一能解决问题的占了100%。所以我的建议是只用试试x=y+1，x=y-1，如果都不成功，很可能说明本题不能用爱森斯坦判别法。尝试其他方法。
顺便，如果你想刨根问底，可以在百度问 电灯剑客 ，他是高等代数高手！