Question

圆锥曲线问题

设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，i是过点A与x轴垂直的直线，D是直线i与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m＞0，且m≠1）．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．
（I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标

Answer 1

(1)当M点在D点与A点之间，∣DM∣/∣DA∣=m，0＜m＜1。
∣MA∣=∣DA∣-∣DM∣=(1-m) ∣DA∣,
DM/MA=m/(1-m)=λ,
设A点坐标为(x,y)，M点坐标为(x0，y0), 直线l过A点且垂直于x轴，故x0=x，由定比分点公式可得y0=λy/(1+λ)=my,
圆的方程为x^2+y^2=1,将x0=x，y0=my代入，可得轨迹方程x0^2+y0^2/m^2=1,

因为0＜m＜1，所以该轨迹方程为焦点在x轴上的椭圆，方程为x^2+y^2/m^2=1，焦点坐标为(√(1-m^2),0) ,(-√(1-m^2),0).

(2)当M点位于DA延长线上时，∣DM∣/∣DA∣=m， m＞1。
∣MA∣=∣DM∣-∣DA∣=(m-1) ∣DA∣, MA= -(m-1) DA，
DM/MA=m/-(m-1)=λ,
设A点坐标为(x,y)，M点坐标为(x0，y0),故x0=x，由定比分点公式可得y0=λy/(1+λ)=my,
圆的方程为x^2+y^2=1,将x0=x，y0=my代入，可得轨迹方程x0^2+y0^2/m^2=1,

因为m＞1，所以该轨迹方程为焦点在y轴上的椭圆，方程为x^2+y^2/m^2=1，焦点坐标为(√(m^2-1),0) ,(-√(m^2-1),0).

(3)M点位于AD延长线上，当0＜m＜1时，∣DM∣/∣DA∣=m。
∣MA∣=∣DM∣+∣DA∣=(m+1) ∣DA∣, DM=- m∣DA∣，
DM/MA=-m/(m+1)=λ,
设A点坐标为(x,y)，M点坐标为(x0，y0), x0=x，由定比分点公式可得y0=λy/(1+λ)=-my,
圆的方程为x^2+y^2=1,将x0=x，y0=-my代入，可得轨迹方程x0^2+y0^2/m^2=1,

因为0＜m＜1，所以该轨迹方程为焦点在x轴上的椭圆，方程为x^2+y^2/m^2=1，焦点坐标为(√(1-m^2),0) ,(-√(1-m^2),0).

当m＞1时，∣DM∣/∣DA∣=m。
∣MA∣=∣DM∣+∣DA∣=(m+1) ∣DA∣, DM=- m∣DA∣，
DM/MA=-m/(m+1)=λ,
设A点坐标为(x,y)，M点坐标为(x0，y0), x0=x，由定比分点公式可得y0=λy/(1+λ)=-my,
圆的方程为x^2+y^2=1,将x0=x，y0=-my代入，可得轨迹方程x0^2+y0^2/m^2=1,

因为m＞1，所以该轨迹方程为焦点在y轴上的椭圆，方程为x^2+y^2/m^2=1，焦点坐标为(√(m^2-1),0) ,(-√(m^2-1),0).

答案不一定对，希望有所帮助。

Answer 2

这个我不会阿