Question

在如图所示的几何体中,四边形abcd是边长为2的菱形,dab=60

在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，E为AB的中点． （Ⅰ）求证：AN ∥ 平面MEC； （Ⅱ）在线段AM上是否存在点P，使二面角P-EC-D的大小为 π 6 ？若存在，求出AP的长h；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（I）CM与BN交于F，连接EF． 由已知可得四边形BCNM是平行四边形， 所以F是BN的中点． 因为E是AB的中点， 所以AN ∥ EF．…（7分） 又EF⊂平面MEC，AN⊄平面MEC， 所以AN ∥ 平面MEC．…（9分） （II）由于四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，可得DE⊥AB． 又四边形ADNM是矩形，面ADNM⊥面ABCD，∴DN⊥面ABCD， 如图建立空间直角坐标系D-xyz，则D（0，0，0），E（ 3 ，0，0），C（0，2，0），P（ 3 ，-1，h）， CE =（ 3 ，-2，0）， EP =（0，-1，h），设平面PEC的法向量为 n 1 =（x，y，z）． 则 CE • n 1 =0 EP • n 1 =0 ，∴ 3 x-2y=0 -y+hz=0 ， 令y= 3 h，∴ n 1 =（2h， 3 h， 3 ），又平面ADE的法向量 n 2 =（0，0，1）， ∴cos＜ n 1 ， n 2 ＞= n 1 • n 2 | n 1 || n 2 | = 3 7 h 2 +3 = 3 2 ，解得h= 7 7 ， ∴在线段AM上是否存在点P，当h= 7 7 时使二面角P-EC-D的大小为 π 6 ．