Question

两边求积分的条件

为什么可以两边求导和积分?
两边求导和积分有什么条件吗?等式两边未知量必须一样?（不能1边为x一边为y?）必须是恒等式（恒等式两边的未知量是不是必须一样啊?）

Answer 1

又问到了一个本质问题!
下面分两种情况解释：
第一种情况是：函数恒等式
例如 cos2x = cos²x - sin²x,因为等式两边是恒等关系,两边同时求导,
其实是对同一个函数求导,只是这个函数有两种写法而已.
如果对两边同时积分,只要积分的上下限相同,结果是一样的.
第二种情况是：函数的展开式,例如 sinx = x - x³/3!+ .
因为这个等式只有在取极限的情况下,才严格成立.
使展开式成立的区间,我们称为收敛域.
在收敛域内求导自然不成问题,两边的结果一样.
但是积分时,就得小心了,除了积分区域必须相同之外,还得考虑在积分后,
代入下限时,是否收敛.否则,要么积不出,要么有一个常数差.
也就是说,求导时不必考虑收敛域,大胆求导；
积分时必须考虑收敛域,小心积分.
一般来说,两边必须是一样的变量,要么都是x,要么都是y.
但是,如果是二元函数展开的话,譬如sin(x+y)同样可以泰勒展开,
两边同样可以分别对x或一求导,分别对x或y积分.由于一般专业
都不可能学二元函数、多元函数的泰勒展开,一般情况下都是一元
函数,两边的变量必须一致.