设x>0,y>0,且x不等于y,求证：（x^3+y^3)^1/3<(x^2+y^2)^1/2
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由于x>0，y>0，得到(x^3+y^3)^1/3>0,(x^2+y^2)^1/2>0,
不等式两边同时六次方，不等号方向不变
x^6+2*x^3*y^3+y^6<x^6+3*x^4*y^2+3*x^2*y^4+y^6
只需证
2*x^3*y^3<3*x^4*y^2+3*x^2*y^4
由于x≠y≠0，不等号两边同除以x^2*y^2，不等号方向保持不变
2*x*y<3*x^2+3*y^2
而3*x^2-2*x*y+3*y^2=3*(x-y*1/3)^2+y^2*2/3>0显然成立，所以得证
不等式两边同时六次方，不等号方向不变
x^6+2*x^3*y^3+y^6<x^6+3*x^4*y^2+3*x^2*y^4+y^6
只需证
2*x^3*y^3<3*x^4*y^2+3*x^2*y^4
由于x≠y≠0，不等号两边同除以x^2*y^2，不等号方向保持不变
2*x*y<3*x^2+3*y^2
而3*x^2-2*x*y+3*y^2=3*(x-y*1/3)^2+y^2*2/3>0显然成立，所以得证
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