Question

一道数学概率题，求大神解答，需要详细过程..急！

在N个人群中为普查某种疾病，进行抽血化验。化验的方法可以有如下两种（1）分别对每个人的血进行化验，这时一共要化验N次（2）把K个人分为一组，把同一组的K人的血液混合在一起进行化验，如果混合血样是阴性的，则说明该组K人的血都呈阴性反应，因而这K个人只需化验一次，如果混合血样是阳性的则对K人再逐个分别化验，这样K个人共做K+1次化验，这样，对每个人来说，化验的次数取值为 1/K 或 （K+1）/K 。假定对所有人来说化验呈阳性反应的概率P较小，且不同人之间的反应相互独立，试说明用第二种方法进行化验科减少化验次数，并决定K的取值，是化验次数最少。

Answer 1

为方便计算，令q=(1-p)^K

对于每一组，有q的概率所有人都是阴性，这样只用进行一次化验
1-q的概率至少有一个人是阳性，这样需要进行K+1次化验，
这样一组化验次数的期望是q+(1-q)(K+1)
N/K组的总和是N/K*(q+(1-q)(K+1))=N/K*q+(1-q)(N+N/K)=N/K+(1-q)N>=2√(N(1-q))
最后一步用平均值不等式a+b>=2√(ab)
等号成立当且仅当a=b，也就是N/K=(1-q)N，也就是1/K=1-q，1/K=1-(1-p)^K
方程左边是K的减函数，右边是K的增函数，一定有解，取K为最接近整数解。

Answer 2

[解决方案】
根本总数的事件（M + N）^ 2
两个相同颜色的球可以分为两个球都是白色的“或”两个球都是黑的“
P（A）= MN /（M + N）^ 2 + MN /（M + N）^ 2 = 2MN /（M + N）^ 2，
“两个目标变色性”可以分为“一个白色的黑色“或”黑与白“
P（B）= M ^ 2 /（M + N）^ 2 + N ^ 2 /（M + N）^ 2 =（M ^ 2 + N ^ 2）/（M + N）^ 2，
显然，P（A）≤P（B），当且仅当“M = N”，与平等

Answer 3

在一个单位中普查某种疾病，600个人去验血，对这些人的血的化验可以用两种方法进行：
方法一：每个人的血分别化验，这时需要化验600次；
方法二：把每个人的血样分成两份，取k（k≥2）个人的血样各一份混在一起进行化验，如果结果是阴性的，那么对这k个人只作一次检验就够了；如果结果阳性的，那么再对这k个人的另一份血样逐个化验，这时对这k个人共需作k+1次化验．
假定对所有的人来说，化验结果是阳性的概率是0.1，而且这些人的反应是独立的．将每个人的血样所需的检验次数作为随机变量ξ．
（1）写出方法二中随机变量ξ的分布列，并求数学期望Eξ（用k表示）；
（2）现有方法一和方法二中k分别取3、4、5共四种方案，请判断哪种方案最好，并说明理由．（参考数据：取0.93=0.729，0.94=0.656，0.95=0.591）

解：（1）对于方法二，k个人一组的混合血液呈阴性结果的概率为0.9k，呈阳性结果的概率为1-0.9k．
当k个人一组的混合血液呈阴性时，可以认为每个人需要化验的次数为
1
k
次；当k个人一组的混合血液呈阳性时，可以认为每个人需要化验的次验为
1
k
+1次．
所以
ξ 1k 1+1k
P 0.9k 1-0.9k
∴Eξ=
1
k
×0.9k+(1+
1
k
)(1-0.9k)=1+
1
k
-0.9k．
（2）对方法一：P（ξ=1）=1
Eξ=1．
当k=3时，Eξ=1+
1
3
-0.93≈0.604；当k=4时，Eξ=1+
1
4
-0.94≈0.597；当k=5时，Eξ=1+
1
5
-0.95≈0.609．
比较知k=4时的方案最好