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一道数学概率题,求大神解答,需要详细过程..急! 30
在N个人群中为普查某种疾病,进行抽血化验。化验的方法可以有如下两种(1)分别对每个人的血进行化验,这时一共要化验N次(2)把K个人分为一组,把同一组的K人的血液混合在一起...
在N个人群中为普查某种疾病,进行抽血化验。化验的方法可以有如下两种(1)分别对每个人的血进行化验,这时一共要化验N次(2)把K个人分为一组,把同一组的K人的血液混合在一起进行化验,如果混合血样是阴性的,则说明该组K人的血都呈阴性反应,因而这K个人只需化验一次,如果混合血样是阳性的则对K人再逐个分别化验,这样K个人共做K+1次化验,这样,对每个人来说,化验的次数取值为 1/K 或 (K+1)/K 。假定对所有人来说化验呈阳性反应的概率P较小,且不同人之间的反应相互独立,试说明用第二种方法进行化验科减少化验次数,并决定K的取值,是化验次数最少。
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[解决方案】
根本总数的事件(M + N)^ 2
两个相同颜色的球可以分为两个球都是白色的“或”两个球都是黑的“
P(A)= MN /(M + N)^ 2 + MN /(M + N)^ 2 = 2MN /(M + N)^ 2,
“两个目标变色性”可以分为“一个白色的黑色“或”黑与白“
P(B)= M ^ 2 /(M + N)^ 2 + N ^ 2 /(M + N)^ 2 =(M ^ 2 + N ^ 2)/(M + N)^ 2,
显然,P(A)≤P(B),当且仅当“M = N”,与平等
根本总数的事件(M + N)^ 2
两个相同颜色的球可以分为两个球都是白色的“或”两个球都是黑的“
P(A)= MN /(M + N)^ 2 + MN /(M + N)^ 2 = 2MN /(M + N)^ 2,
“两个目标变色性”可以分为“一个白色的黑色“或”黑与白“
P(B)= M ^ 2 /(M + N)^ 2 + N ^ 2 /(M + N)^ 2 =(M ^ 2 + N ^ 2)/(M + N)^ 2,
显然,P(A)≤P(B),当且仅当“M = N”,与平等
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在一个单位中普查某种疾病,600个人去验血,对这些人的血的化验可以用两种方法进行:
方法一:每个人的血分别化验,这时需要化验600次;
方法二:把每个人的血样分成两份,取k(k≥2)个人的血样各一份混在一起进行化验,如果结果是阴性的,那么对这k个人只作一次检验就够了;如果结果阳性的,那么再对这k个人的另一份血样逐个化验,这时对这k个人共需作k+1次化验.
假定对所有的人来说,化验结果是阳性的概率是0.1,而且这些人的反应是独立的.将每个人的血样所需的检验次数作为随机变量ξ.
(1)写出方法二中随机变量ξ的分布列,并求数学期望Eξ(用k表示);
(2)现有方法一和方法二中k分别取3、4、5共四种方案,请判断哪种方案最好,并说明理由.(参考数据:取0.93=0.729,0.94=0.656,0.95=0.591)
解:(1)对于方法二,k个人一组的混合血液呈阴性结果的概率为0.9k,呈阳性结果的概率为1-0.9k.
当k个人一组的混合血液呈阴性时,可以认为每个人需要化验的次数为
1
k
次;当k个人一组的混合血液呈阳性时,可以认为每个人需要化验的次验为
1
k
+1次.
所以
ξ 1k 1+1k
P 0.9k 1-0.9k
∴Eξ=
1
k
×0.9k+(1+
1
k
)(1-0.9k)=1+
1
k
-0.9k.
(2)对方法一:P(ξ=1)=1
Eξ=1.
当k=3时,Eξ=1+
1
3
-0.93≈0.604;当k=4时,Eξ=1+
1
4
-0.94≈0.597;当k=5时,Eξ=1+
1
5
-0.95≈0.609.
比较知k=4时的方案最好
方法一:每个人的血分别化验,这时需要化验600次;
方法二:把每个人的血样分成两份,取k(k≥2)个人的血样各一份混在一起进行化验,如果结果是阴性的,那么对这k个人只作一次检验就够了;如果结果阳性的,那么再对这k个人的另一份血样逐个化验,这时对这k个人共需作k+1次化验.
假定对所有的人来说,化验结果是阳性的概率是0.1,而且这些人的反应是独立的.将每个人的血样所需的检验次数作为随机变量ξ.
(1)写出方法二中随机变量ξ的分布列,并求数学期望Eξ(用k表示);
(2)现有方法一和方法二中k分别取3、4、5共四种方案,请判断哪种方案最好,并说明理由.(参考数据:取0.93=0.729,0.94=0.656,0.95=0.591)
解:(1)对于方法二,k个人一组的混合血液呈阴性结果的概率为0.9k,呈阳性结果的概率为1-0.9k.
当k个人一组的混合血液呈阴性时,可以认为每个人需要化验的次数为
1
k
次;当k个人一组的混合血液呈阳性时,可以认为每个人需要化验的次验为
1
k
+1次.
所以
ξ 1k 1+1k
P 0.9k 1-0.9k
∴Eξ=
1
k
×0.9k+(1+
1
k
)(1-0.9k)=1+
1
k
-0.9k.
(2)对方法一:P(ξ=1)=1
Eξ=1.
当k=3时,Eξ=1+
1
3
-0.93≈0.604;当k=4时,Eξ=1+
1
4
-0.94≈0.597;当k=5时,Eξ=1+
1
5
-0.95≈0.609.
比较知k=4时的方案最好
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