Question

微分方程y''+y'^2=1,满足初始条件：x=0时，y=0,y'=1的特解

解答：y''=dy'/dx=y'dy'/dy
代入原方程得
y'dy'/dy+y'^2=1
d(y'^2)/(1-y'^2)=2dy
得
1-y'^2=Ce^2y
在解答d(y'^2)/(1-y'^2)=2dy，进行积分时
但是负号怎么没有了，这是我搞不懂的？还有y`^2=1,y`=正负1，怎么把﹣1删去了

Answer 1

在解答d(y'^2)/(1-y'^2)=2dy，是有问题。
d(y'^2)/(1-y'^2)=2dy，
-ln(1-y'^2)=2y+lnC
1-y'^2=Ce^(-2y)，y=0,y'=1代入得：C=0
y`^2=1,由于y=0，y'=1，（这里是求特解，可依据y=0，y'=1，求特解就不行）
y=x+C. x=0时，y=0,C=0
y=x

追问

-ln(1-y'^2)=2y+lnC如何得到
1-y'^2=Ce^(-2y)，

追答

去掉对数

追问

去掉对数，不是(1-y'^2)的倒数，再等于Ce^(-2y)吗

追答

d(y'^2)/(1-y'^2)=2dy
-d(y'^2)/(1-y'^2)=-2dy
ln(1-y'^2)=-2y+lnC
1-y'^2=Ce^(-2y)