设H是有限群G的一个非平凡子群，证明H所有的共轭子群并起来不等于G
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证：（1）若H是G的正规子群，则H的共轭子群只有自身。又因为H是G的一个真子群，所以H所有的共轭子群并起来是G的真子群，不等于G。
（2）若H不是G的正规子群，记N(H)为H的正规化子，正规化子定义为N(H) = {g∈G : gH = Hg}。
正规化子是最大的满足包含H为其正规子群的G的子群。又由H不在G中正规，可得N(H)是G的真子群。
我们把H所有的共轭子群并起来得到的集合记为K，很容易验证K包含H，且K是G的子群。
另外K显然是G的正规子群(因为对任意a∈G，aKa^-1=∪(agH(ag)^-1)=∪(bHb^-1)=K)。
由于最大的正规子群都是G的真子群，所以K也是G的真子群，也就有K≠G。
（2）若H不是G的正规子群，记N(H)为H的正规化子，正规化子定义为N(H) = {g∈G : gH = Hg}。
正规化子是最大的满足包含H为其正规子群的G的子群。又由H不在G中正规，可得N(H)是G的真子群。
我们把H所有的共轭子群并起来得到的集合记为K，很容易验证K包含H，且K是G的子群。
另外K显然是G的正规子群(因为对任意a∈G，aKa^-1=∪(agH(ag)^-1)=∪(bHb^-1)=K)。
由于最大的正规子群都是G的真子群，所以K也是G的真子群，也就有K≠G。
追问
您的意思是说K<N(H)吗？但是K好像不包含H为其正规子群。
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