Question

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x+x² .

若存在正数a，b，使得当x∈[a,b]时，f（x）的值域为[1/b,1/a],则a+b=？ 求详解

Answer 1

此题很简单，看我的解哈。亲。
已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，所以有-f（x）=f（-x）。
当x≤0时，f（x）=2x+x² ，那么当x>0时，-x<0，f（-x）=-2x+x²，所以，f（x）=-f（-x）=2x-x²，
存在正数a，b，使得当x∈[a,b]时，索命我们只考虑x>0时的情况，所以，我们先画出x>0时的图像，就是f（x）=2x-x²图像，取x>0时的右半边，这时有对称轴x=1，开口向下，x=0或者2的时候，f（x）等于0.
然后就是讨论咯，x∈[a,b]时，如果b<1，值域为[1/b,1/a]符合条件，这时是增函数，所以有f（a）=1/b，同理有f（b）=1\a，这样就得到了两个方程，连理方程组，解出a和b，就得到答案。
如果a>1,这时 是减函数，有当x∈[a,b]时，f（x）的值域不可能是[1/b,1/a]。所以就只有b<1才有答案。

Answer 2

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，所以有-f（x）=f（-x）。
当x≤0时，f（x）=2x+x² ，那么当x>0时，-x<0，f（-x）=-2x+x²，所以，f（x）=-f（-x）=2x-x²，
存在正数a，b，使得当x∈[a,b]时，索命我们只考虑x>0时的情况，所以，我们先画出x>0时的图像，就是f（x）=2x-x²图像，取x>0时的右半边，这时有对称轴x=1，开口向下。
———————————————不想打，抄袭下楼下的。—————————————————
到以上为止，楼上都是对的。
但是考虑的情况依然有两种，因为函数在x>0不单调。
① f(a)=1/b，f(b)=1/a。你可以尝试解这个方程，我可以告诉你它是一个二元三次方程。
解得：1）a1=b1=(1-sqrt(5))/2
a2=b2=(1+sqrt(5))/2
a3=b3=1。
显然，三组答案均不满足条件，全舍去。

② f(a)=1/a，f(b)=1/b
则：2a-a²=1/a
a^3-a²-a²+a-a+1=0
a^3-2a²+1=0
a1=1，a2=(1+sqrt(5))/2，a3=(1-sqrt(5))/2
显然a3<0，舍去。
同理B有两解。而b>a
所以a=1，b=(1+sqrt(5))/2
所以a+b=(3+sqrt(5))/2
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诚挚为你解答——来自广东广雅中学知识团队

追问

看的有点眼花。。。稍微看懂了，就是不知道，在第②点中，
a^3-a²-a²+a-a+1=0
a^3-2a²+1=0
这是怎么回事。。。不太懂。。我按步骤能设1.2a-a²=1/a 2.2b-b²=1/b. 但后面就不会了

追答

这个是列出来解的一元三次方程。这时的情况是f(a)=1/a和f(b)=1/b。这两种情况的解一样。都是一元三次方程，有3解。