Question

已知PA⊥面ABC S△PBC=S S△ABC=S’ 二面角P-BC-A的平面角为β 求证 S·cosβ=S’

Answer 1

作AO垂直于BC，垂足为O，因为PA垂直于平面ABC，所以，PA垂直于AO和BC，又AO垂直于BC，所以平面PAO垂直于BC，则PO垂直于BC，则S=BC*PO/2；S‘=BC*AO/2；因为PAO为直角三角形，所以AO=PO*cosβ；所以S'=BC*AO/2=BC*(PO*cosβ)/2=S*cosβ

Answer 2

过P做PE垂直BC於E点，联接AE,易的 BC垂直於PE,BC垂直AE,即PE和AE是三角形PBC和ABC的高，S=1/2BC×PE S'=1/2BC×AE 且二面角二面角P-BC-A的平面角为β就是角PEA,即AE=PEcosβ 所以S·cosβ=S’