Question

1：已知抛物线y=a(x-h)2+K的顶点为(-1,3),且经过点(1,-1)，求这条抛物线的函数关系。

2：已知抛物线y=ax2+bx+c经过点（0，0）（2，8）（-2，0）三点，求这条抛物线的解析式。

Answer 1

1、将顶点坐标(-1,3)代入y=a(x-h)^2+K得y=a(x+1)^2+3,且经过点(1,-1)，∴-1=a(1+1)^2+3，
解得a=-1,∴y=-(x+1)^2+3=-x^2-2x+2
2、∵抛物线y=ax2+bx+c经过点（0，0）和（-2，0），这两点是函数与x轴交点，设交点式y=a(x-x1)(x-x2),则x1=0,x2=-2,∴y=ax(x+2)，将（2,8）代入函数得8=8a,a=1
∴y=x(x+2)=x^2+2x

Answer 2

1：因为顶点为（-1，3）且抛物线的解析式为顶点式，所以h=-1，k=3,
将（1，-1）代入y=a(x+1)2+3，解得a=-1
所有y=-1（x+1）2+3
2.直接将三点分别代入抛物线，解得
c=0
b=2
a=1
所有y=x2+2x

追问

能有点过程吗？详细些。谢谢

追答

这还不详细吗。。好吧

1.顶点代入就是这么做，这是顶点式的定义，所以h=-1，k=3

将（1，-1）代入

y=a2*2+3=-1（不打平方了，我直接算了），解得a=-1

2.将（0,0）代入，c=0

（2,8）代入，a*2*2+2b+c（c=0）=8

（-2,0）代入 a*（-2）*（-2）-2b+c=0

1. 化简得4a+2b=8

2. 4a-2b=0

   式子1+2得8a=8，a=1

   之后代入1得，b=2

   之后代进去，解得。如果这都还不算详细，我真木办法了
   

Answer 3

（1）标准抛物线x²=2py的焦点为（0，p/2），
本题中，对y=ax²来说，其焦点为（0，1/4a）；
对y=a（x-h)²来说,其焦点为（h，1/4a）；
对y-k=a（x-h)²来说,其焦点为（h，1/4a+k）；
焦点F(h, 1/4a+k),
所以h=-1，1/4a+k=3
且经过点(1,-1)，所以-1=a(1+1)²+k
解得a=(-1-√5)/2或（-1+√5)/2,k=1+2√5或1-2√5

(2)将三点的坐标（0，0）（2，8）（-2，0）带入方程y-k=a（x-h)²，得a=1,b=2,c=0