Question

如图所示,已知在三角形ABC中,角BAC为直角,AB=AC,D为AC上一点,CE垂直BD于E若BD平分∠ABC，求证CE=1/2BD

如图所示,已知在三角形ABC中,角BAC为直角,AB=AC,D为AC上一点,CE垂直BD于E若BD平分∠ABC，求证CE=1/2BD

Answer 1

做CE延长线交BA的延长线于F
因AB垂直AC,且AB=AC,则角ABC=角ACB=45度
又因为BE平分角ABC
所以ABD=角DBC=22.5度
又因为CE垂直BD，所以角BCE=90度-22.5度=67.5度
所以角BFC=180度-45度-67.5度=67.5度
所以三角形BFC为等腰三角形
又因为BE垂直CF
所以CE=EF
又因为角ACF=角BCE-角BCD=67.5-45=22.5度
所以角ACF=角ABD=22.5度
角BAD=角CAF=90度
且AB=AC，
所以三角形ABD全等三角形ACF
所以CE=1/2CF=1/2BD

Answer 2

做CE延长线交BA的延长线于F
因AB垂直AC,且AB=AC,则角ABC=角ACB=45度
又因为BE平分角ABC
所以ABD=角DBC=22.5度
又因为CE垂直BD，所以角BCE=90度-22.5度=67.5度
所以角BFC=180度-45度-67.5度=67.5度
所以三角形BFC为等腰三角形
又因为BE垂直CF
所以CE=EF
又因为角ACF=角BCE-角BCD=67.5-45=22.5度
所以角ACF=角ABD=22.5度
角BAD=角CAF=90度
且AB=AC，
所以三角形ABD全等三角形ACF
所以CE=1/2CF=1/2BD

Answer 3

延长BA.CE交于点F

BD平分∠ABC

∠EBF=∠CBE

又∠BAC为直角，AB=AC

∠ABC=∠ACB=45°

∠ABE=22.5°

又CE⊥BD

∠ACF=22.5°

又∠BAC=∠CAF=90°,AB=AC

△ABD全等于△ACF

BD=CF

BD平分∠ABC,CE⊥BD

△BCF为等腰三角形（三点一线）

E为CF中点 即2CE=CF

CE=½BD

Answer 4

延长CE交BA的延长线于点F，先证CE＝EF（角平分线上的点到角的两边的距离相等）
再证△BCE≌△BFE，得BD＝CF，则结论可证

Answer 5

延长CE交BA的延长线于点F，先证CE＝EF（角平分线上的点到角的两边的距离相等）
再证△BCE≌△BFE，得BD＝CF，则结论可证