Question

已知在空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD 、DA四边上的中点,且AB=AD,CB=CD,

求四边形efgh是矩形

Answer 1

图在这里传不了，你点我帐号去我百度相册看，相册封面就是标签是EFGH，也可以自己画一下
连接AC，BD ，取BD中点O，连接AOCO，顺次连接EFGH
因为： AB=AD E、H是中点
所以：在等腰三角形ABD中
EH是中位线，EH//BD，EH=BD/2
AO⊥BD（等腰三角形底边三线合一）
因为：BC=CD F、G是中点
所以：在等腰三角形BCD中
FG是中位线，FG//BD，FG=BD/2
CO⊥BD（等腰三角形底边三线合一）
所以：EH//BD FG//BD，且FG=EH=BD/2
所以：EFGH是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

因为： AO⊥BD CO⊥BD（已证）
又因为：AO CO交于点O
所以：BD⊥面ACO（一条直线和平面内两条相交线垂直那么直线垂直于这个平面）
在三角形ACD中，GH是中线
所以：GH//AC
所以：GH//面ACO
所以：BD⊥HG（如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线垂直于平行于这个平面的直线）
因为：EH//BD（已证）
所以：HG⊥EH（如果一条直线和两条平行线中的一条垂直那么和平行线中的另一条也垂直）

所以：EFGH是矩形（根据有一个角是直角的平行四边行是矩形）

括号中的定理只是帮助看的，过程中的因为、所以用符号打起来太小看不清所以我用汉字