Question

已知在空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD 、DA四边上的中点,且AB=AD,

求efgh是矩形

Answer 1

连接AC，BD，交点O，
在三角形ABC中，EF是中位线，EF平行AC，EF=1/2AC，
在三角形ADC中，HG是中位线，HG平行AC，HG=1/2AC，
EF平行HG，EF=HG
同理，EH平行GF，EH=GF，
AB=AD,CB=CD,
三角形ABC和ADC全等，
角OAD=角OAB，
三角形AOD和AOB全等，
角AOD=角AOB=90度，AC垂直BD，
EH垂直EF，
EFGH是矩形。

Answer 2

不详

Answer 3

仅可以证明为菱形：
思路如下：
由于：
四边形ABCD是空间四边形，故不可以用平面四边形的方法去解，而我们又知道三个点确定一个平面。固有：首先将空间四边形看为三角形ABC与三角形ADC（AC边为两个三角形的接触边），由“E、F、G、H分别是AB、BC、CD 、DA四边上的中点”，固有EF平行且等于1/2AC，GH平行且等于1/2AC，固有：EF平行且等于GH。
其次将空间四边形看为三角形ABD与三角形BCD（BD边为两个三角形的接触边），由“E、F、G、H分别是AB、BC、CD 、DA四边上的中点”，固有EG平行且等于1/2BD，FH平行且等于1/2BD，固有：EG平行且等于FH。

由于：EF平行且等于GH，EG平行且等于FH，有四边形。

我个人感觉本体是无法证明是矩形的。

至于楼上所证的CD = BC，是不能证明出来的。理由：假设三角形ABD为等边三角形，三角形BCD为以BD为斜边的直角三角形，设角CBD为60度，角CDB为30度。（该图形满足题意，但CD不等于BC）。

为啥不能证明为矩形，理由如下：
以下方法采用特殊值法：用刚才构造的图形，假设三角形ABD为等边三角形与三角形BCD（以BD为斜边的直角三角形，设角CBD为60度，角CDB为30度）在同一平面内（空间情况的一种特殊情况）。
有角AEH = 60度，链接EC，有角CEB = 角ECB = 30度，角CBE = 120度。
由于 F 为 BC中点，故角FEB 小于30度。
角HEF = 180 - 角AEH - 角FEB ，得角HEF大于90度。故平行四边形EFGH不可能为矩形。

啥时候能证明为矩形？
当条件为CD = BC，AD = AB 时，该图形为矩形，证法参见本问的其他回答（笨猫不笨的回答）。