Question

若Xn>0,且limXn=a,则a>0,不一定成立,为什么?

Answer 1

证明：对于任意的ε>0, 取ε1=ε*sqrt(a)>0 ,根据数列极限的定义，有：

对于ε1，存在N属于N+，当n>N时，有|Xn-a|<ε1成立 (1式。

由于Xn>0,a>0, 有：|sqrt(Xn)-sqrt(a)|=|Xn-a|/(sqrt(Xn)+sqrt(a))。

且由于sqrt(Xn)>0,则 sqrt(Xn)+sqrt(a)>sqrt(a)，于是。

|sqrt(Xn)-sqrt(a)|=|Xn-a|/(sqrt(Xn)+sqrt(a))<|Xn-a|/sqrt(a)。

用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：

对于被考察的未知量，先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量，确认此变量通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量；用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。