Question

如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA⊥底面ABC,AB＝AC,∠BAC＝90.D是BC中点

如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA⊥底面ABC,AB＝AC,∠BAC＝90.D是BC中点。若二面角C1－AD－C的大小为60，求AB1与面ADC1所成角的正弦值。
直三棱柱来着。。。。

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Answer 1

∵AA1⊥平面ABC,
∴三棱柱是直三棱柱,
∴平面BB1C1C⊥平面ABC,
∵AB=AC,<BAC=90°,
∴△ABC是等腰RT△,
∵AD是斜边BC上的中线,
∴AD⊥BC,
∴AD⊥平面BB1C1C,
∵DC1∈平面BB1C1C，
∴DC1⊥AD，
∴〈C1DC是二面角C1-AD-C的平面角，
∴〈C1DC=60°，
设AB=AC=1单位，
则BC=√2，
CD=√2/2，
CC1=√3CD=√6/2，
C1D=2CD=√2，
∵CD=BD，
CC1=BB1，
〈C1CD=〈B1BD=90°，
∴△CBC1≌△BDB1，
∴DB1=DC1=√2=B1C1，
∴△DB1C1是正△，
取DC1中点M，连结B1M，AM，
则B1M⊥DC1，（三线合一），
∵AD⊥平面BB1C1C，
AD∈平面ADC1，
∴平面ADC1⊥平面BB1C1C，
∵B1M⊥DC1，
∴B1M⊥平面ADC1，
∴〈B1AM就是AB1和平面ADC1所成角，
sin<B1AM=B1M/AB1,
AB1=√（AB^2+BB1^2)=√（1+6/4）=√10/2，
B1M=C1D*（√3/2）=√2*√3/2=√6/2，
∴sin<B1AM=(√6/1）/（√10/2）=√15/5。
∴AB1与面ADC1所成角的正弦值为√15/5。

Answer 2

在直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC中点，
所以AD⊥BC；（1）
在三棱柱中，AA1∥BB1∥CC1，AA1⊥面ABC，所以CC1⊥面ABC，AD在面ABC中，
所以CC1⊥AD；（2）
注意到，CC1与BC在面BCC1B1中交于点C，
所以根据结论（1）和（2）有AD⊥面BCC1B1；
而DC1在面BCC1B1中，所以AD⊥DC1；（3）
由结论（1）和（3），∠CDC1即为二面角C1－AD－C，故∠CDC1=60°；
过B1做直线垂直DC1于E，则由于B1E在面BCC1B1中，所以AD⊥B1E，
而DC1与AD在面ADC1中交于D，所以B1E⊥面ADC1；
连接AE，∠EAB1即为AB1与面ADC1所成的角；
在直角△AEB1中计算，sin∠EAB1=B1E/AB1
分别计算B1E和AB1，其中B1E=sin∠B1C1E*B1C1=sin60°*BC=sin60°*AB/sin45°，
所以B1E=AB*根号（3/2）
在直角△ABB1中，AB1²=AB²+BB1²=AB²+CC1²=AB²+（CD*tan60°）²=AB²+3AB²/2=5AB²/2，
所以AB1=AB*根号（5/2）
所以sin∠EAB1=B1E/AB1=根号（3/5）
即AB1与面ADC1所成的角的正弦值为根号（3/5）.

Answer 3

是否是直三棱柱ABC－A1B1C1?

Answer 4

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Answer 5

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