Question

简单的不定积分问题，求数学帝$

Answer 1

一次问的题太多，下次一道一道来问。

1、∫ 1/(3+cosx) dx
=∫ 1/(2+1+cosx) dx
=∫ 1/[2+2cos²(x/2)] dx
分子分母同除以cos²(x/2)
=(1/2)∫ sec²(x/2)/[sec²(x/2)+1] dx
=∫ 1/[sec²(x/2)+1] d[tan(x/2)]
=∫ 1/[tan²(x/2)+2] d[tan(x/2)]
=(1/√2)arctan[tan(x/2)/√2] + C

2、∫ 1/[sinx(cosx)^4] dx
分子分母同除以sinx
=∫ sinx/[sin²x(cosx)^4] dx
=-∫ 1/[sin²x(cosx)^4] dcosx
=-∫ 1/[(1-cos²x)(cosx)^4] dcosx
=-∫ (1-cos²x+cos²x)/[(1-cos²x)(cosx)^4] dcosx
=-∫ 1/(cosx)^4 dcosx - ∫ 1/[(1-cos²x)cos²x] dcosx
=(1/3)(1/cos³x) + ∫ 1/(cos²x-1) dcosx - ∫ 1/cos²x dcosx
=(1/3)(1/cos³x) + (1/2)ln|(cosx-1)/(cosx+1)| + 1/cosx + C

3、∫ tanx/[a²sin²x+b²cos²x] dx
分子分母同除以cos²x
=∫ tanxsec²x/[a²tan²x+b²] dx
=∫ tanx/[a²tan²x+b²] d(tanx)
=(1/2)∫ 1/[a²tan²x+b²] d(tan²x)
=[1/(2a²)]ln(a²tan²x+b²) + C

4、∫ sinxcosx/[(sinx)^4+(cosx)^4] dx
分子分母同除以(cosx)^4
=∫ tanxsec²x/[(tanx)^4+1] dx
=∫ tanx/[(tanx)^4+1] d(tanx)
=(1/2)∫ 1/[(tanx)^4+1] d(tan²x)
=(1/2)arctan(tan²x) + C

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