Question

定积分中从图像围成的面积来说为什么分割的越多，误差就越小(分的多了每份误差小了但份数也多了呀?)然后

然后无限分割得到的为什么一定是精确值呢，困扰很久了，解释一下，谢谢啦

Answer 1

1、定积分的几何意义是曲边图形的面积。
2、当积分区间分割成两部分时，两个直线梯形的面积和两个曲边梯形的面积误差较大。
3、当区间分割越来越多，每个小直线型梯形就很接近相应的小曲边梯形。但还是有差距的。
4、关键在于“极限”，以极限为工具（这是极限理论在微积分中的作用），当分割无穷多时，无穷多个小直线型梯形就可以近似代替小曲边梯形，虽然还有误差，但可以忽略不计。这时就定义这个面积之和的极限（即曲边梯形面积）为函数在区间上的定积分。
5、如果感兴趣，可以去下载定积分的课件，可以看到面积的变化过程，会帮助你去理解。

追问

额，感官上矩形越来越小，小矩形面积接近曲边梯形，但曲边梯形数量随之增加，如果每个面积都取近似，为什么不会使误差增大，我想从逻辑上证实一下，或证明下。。你说的我明白。。这中极限分割做法也知道是对的，书我看过了。还有第二个问题呢。。。为什么定积分求得的曲边梯形面积是个准确值?麻烦解释一下，谢谢啦

追答

1、极限的概念，极限值和准确值之间，就是差个无穷小，故略而不及。
2、定积分的定义，也就是这个无穷小的略而不计。
3、当分割越来越多，区间上各个点几乎重叠，那么小梯形不就和曲边梯形几乎重合了吗，误差能够会更大吗？不会的，请思考之。