Question

已知F1,F2是椭圆16x^2+25y^2=400的两个焦点,p是椭圆上的两个点,且∠F1PF2=30度,求三角形F1PF2面积

Answer 1

椭圆化为标准方程是：
x²/25＋y²/16=1
a=5、b=4，则：c=3
设：PF1=m、PF2=n、∠F1PF2=w
则：
m²＋n²－2mncosw=(2c)²
(m＋n)²－2mn－2mncosw==(2c)² 【m＋b=2a】
(2a)²－2mn－2mncosw=(2c)²
(2a)²－(2c)²=2mn(1＋cosw)
4b²=2mn(1＋cosw)
得：
mn=2b²/(1＋cosw)
而：S=(1/2)mnsinw=[b²sinw]/(1＋cosw) 【以b²=16，w=30°代入】
=16(2－√3)

Answer 2

解：x²/25＋y²/16=1，b=4，
S=b^2tan[(角F1PF2)/2]=16tan(PI/12)=16(2-√3)

Answer 3

这个是有公式的，椭圆是s=b^2tan(θ/2)=16tan(15度)=4（√6-√2），这个公式的具体推导需要以下式子，|PF1|+|PF2|=2a,
S=1/2|PF1|*|PF2|sinθ.还有一个就是余弦定理cosθ=(|PF1|^2+|PF2|^2-|F1F2|^2)/(2|PF1||PF2