一个线代问题
设A为n阶正定矩阵，a1,a2,a3为n维非零列向量，且ai^TAaj=0，（i不等于j，i,j=1，2，3）证明：a1,a2,a3线性无关...
设A为n阶正定矩阵，a1,a2,a3为n维非零列向量，且ai^TAaj=0，（i不等于j，i,j=1，2，3）证明：a1,a2,a3线性无关
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设 k1a1+k2a2+k3a3=0
则 a1^TA(k1a1+k2a2+k3a3)=0
所以 k1a1^TAa1+k2a1^TAa2+k3a1^TAa3=0
由已知 k1a1^TAa1=0
因为A正定且a1≠0
所以 a1^TAa1>0
所以 k1=0
同理可得 k2=k3=0
所以 a1,a2,a3线性无关
则 a1^TA(k1a1+k2a2+k3a3)=0
所以 k1a1^TAa1+k2a1^TAa2+k3a1^TAa3=0
由已知 k1a1^TAa1=0
因为A正定且a1≠0
所以 a1^TAa1>0
所以 k1=0
同理可得 k2=k3=0
所以 a1,a2,a3线性无关
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